如圖,已知點A(6,0),點B(0,6),經過AB的直線l以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動,與此同時,點...
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問題詳情:
如圖,已知點A(6,0),點B(0,6),經過AB的直線l以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動,與此同時,點P從點B出發,在直線l上以每秒1個單位的速度沿直線l向右下方向作勻速運動.設它們運動的時間爲t秒.
(1)用含t的代數式表示點P的座標;
(2)過O作OC⊥AB於C,過C作CD⊥x軸於D,問:t爲何值時,以P爲圓心、1爲半徑的圓與直線OC相切?並說明此時⊙P與直線CD的位置關係.
【回答】
解:(1)如圖1,作PF⊥y軸於F,
∵點A(6,0),點B(0,6),
∴∠BAO=30°,
在直角三角形PFB′中,PB′=t,∠B′PF=30°,
則B′F=,PF=t,
又∵BB′=t,
∴OF=OB﹣BB′﹣B′F=6﹣t﹣=6﹣t,
則P點的座標爲(,6﹣t);
(2)如圖2,此題應分爲兩種情況:
①當⊙P和OC第一次相切時,
設直線B′P與OC的交點是M,
根據題意,知∠BOC=∠BAO=30°,
則B′M=OB′=3﹣
則PM=3﹣,
根據直線和圓相切,則圓心到直線的距離等於圓的半徑,得
3﹣=1,t=,
此時⊙P與直線CD顯然相離;
②當⊙P和OC第二次相切時,
則有t﹣3=1,t=,
此時⊙P與直線CD顯然相交,
綜上所述:當t=或時⊙P和OC相切,t=時⊙P和直線CD相離,當t=時⊙P和直線CD相交.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:綜合題
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