如圖①，在鈍角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，點D爲邊AB中點，點E爲邊BC中點，將△BDE繞點B逆時...

問題詳情：

如圖①，在鈍角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，點D爲邊AB中點，點E爲邊BC中點，將△BDE繞點B逆時針方向旋轉α度（0≤α≤180）．

（1）如圖②，當0＜α＜180時，連接AD、CE．求*：△BDA∽△BEC；

（2）如圖③，直線CE、AD交於點G．在旋轉過程中，∠AGC的大小是否發生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出這個角的度數；

（3）將△BDE從圖①位置繞點B逆時針方向旋轉180°，求點G的運動路程．

【回答】

【解答】解：（1）如圖②中，

由圖①，∵點D爲邊AB中點，點E爲邊BC中點，

∴DE∥AC，

∴＝，

∴＝，

∵∠DBE＝∠ABC，

∴∠DBA＝∠EBC，

∴△DBA∽△EBC．

（2）∠AGC的大小不發生變化，∠AGC＝30°．

理由：如圖③中，設AB交CG於點O．

∵△DBA∽△EBC，

∴∠DAB＝∠ECB，

∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，

∴∠G＝∠ABC＝30°．

（3）如圖③﹣1中．設AB的中點爲K，連接DK，以AC爲邊向右作等邊△ACO，連接OG，OB．

以O爲圓心，OA爲半徑作⊙O，

∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，

∴∠AGC＝∠AOC，

∴點G在⊙O上運動，

以B爲圓心，BD爲半徑作⊙B，當直線與⊙B相切時，BD⊥AD，

∴∠ADB＝90°，

∵BK＝AK，

∴DK＝BK＝AK，

∵BD＝BK，

∴BD＝DK＝BK，

∴△BDK是等邊三角形，

∴∠DBK＝60°，

∴∠DAB＝30°，

∴∠DOG＝2∠DAB＝60°，

∴的長＝＝，

觀察圖象可知，點G的運動路程是的長的兩倍＝．

【點評】本題屬於相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和*質，弧長公式，等邊三角形的判定和*質，圓周角定理等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會正確尋找點的運動軌跡，屬於中考壓軸題．

知識點：各地中考

題型：解答題