如圖,在矩形中,,點D是邊的中點,反比例函數的圖象經過點D,交邊於點E,直線的解析式爲.(1)求反比例函數的解...
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問題詳情:
如圖,在矩形中,,點D是邊的中點,反比例函數的圖象經過點D,交邊於點E,直線的解析式爲.
(1)求反比例函數的解析式和直線的解析式;
(2)在y軸上找一點P,使的周長最小,求出此時點P的座標;
(3)在(2)的條件下,的周長最小值是______.
【回答】
(1),;(2)點P座標爲;(3).
【解析】
(1)首先求出D點座標,然後將D點座標代入反比例解析式,求出k即可得到反比例函數的解析式.將x=2代入反比例函數解析式求出對應y的值,即得到E點的座標,然後將點D,E兩點的座標代入一次函數的解析式中,即可求出DE的解析式.
(2)作點D關於y軸的對稱點,連接,交y軸於點P,連接.此時的周長最小.然後求出直線的解析式,求直線與y軸的交點座標,即可得出P點的座標;
(3)的周長的最小值爲DE+,分別利用勾股定理兩條線段的長,即可求.
【詳解】
解:(1)∵D爲的中點,,
∴.
∵四邊形是矩形,,
∴D點座標爲.
∵在的圖象上,
∴.∴反比例函數解析式爲.
當時,.
∴E點座標爲.
∵直線過點和點
∴
解得
∴直線的解析式爲.
∴反比例函數解析式爲,
直線的解析式爲.
(2)作點D關於y軸的對稱點,連接,交y軸於點P,連接.
此時的周長最小.∵點D的座標爲,
∴點的座標爲.
設直線的解析式爲.
∵直線經過
∴
解得
∴直線的解析式爲.
令,得.
∴點P座標爲.
(3)由(1)(2)知D(1,4),E(2,2),(-1,4).又B(2,4),
∴BD=1,BE=2,B=3.
在Rt△BDE中,由勾股定理,得DE==.
在Rt△BE中,由勾股定理,得E==.
的周長的最小值爲+DE =.
【點睛】
本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題,矩形的*質,待定係數法求反比例函數和一次函數的解析式,軸對稱的最短路徑問題等,難度適中,正確的求出解析式和找到周長最小時的點P是解題的關鍵.
知識點:反比例函數
題型:解答題
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