如圖①,已知直線y=﹣2x+4與x軸、y軸分別交於點A、C,以OA、OC為邊在第一象限內作長方形OABC.(1...
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問題詳情:
如圖①,已知直線y=﹣2x+4與x軸、y軸分別交於點A、C,以OA、OC為邊在第一象限內作長方形OABC.
(1)求點A、C的座標;
(2)將△ABC對摺,使得點A的與點C重合,摺痕交AB於點D,求直線CD的解析式(圖②);
(3)在座標平面內,是否存在點P(除點B外),使得△APC與△ABC全等?若存在,請求出所有符合條件的點P的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
(1)A(2,0);C(0,4);(2);(3)存在,P的座標為(0,0)或 或.
【分析】
(1)已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交於點A、C,即可求得A和C的座標;
(2)根據題意可知△ACD是等腰三角形,算出AD長即可求得D點座標,最後即可求出CD的解析式;
(3)將點P在不同象限進行分類,根據全等三角形的判定方法找出所有全等三角形,找出符合題意的點P的座標.
【詳解】
(1)(1)令y=0,則-2x+4=0,解得x=2, ∴A(2,0), 令x=0,則y=4, ∴C(0,4);
(2)由摺疊知:CD=AD.設AD=x,則CD=x,BD=4-x,
根據題意得:(4-x)2+22=x2解得:x=
此時,AD=,D(2,)
設直線CD為y=kx+4,把D(2,)代入得=2k+4
解得:k=-
∴該直線CD解析式為y=-x+4.
(3)①當點P與點O重合時,△APC≌△CBA,此時P(0,0)
②當點P在第一象限時,如圖,
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB,
則點P在直線CD上.過P作PQ⊥AD於點Q,
在Rt△ADP中,
AD=,PD=BD=4-=,AP=BC=2
由AD×PQ=DP×AP得:PQ=3
∴PQ=
∴xP=2+=,
把x=代入y=-x+4得y=
此時P(,)
(也可通過Rt△APQ勾股定理求AQ長得到點P的縱座標)
③當點P在第二象限時,如圖
同理可求得:CQ=
∴OQ=4-=
此時P(-,)
綜合得,滿足條件的點P有三個,
分別為:P1(0,0);P2(,);P3(-,).
考點:一次函數綜合題.
知識點:一次函數
題型:解答題
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