(1)問題發現如圖1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,連接AC,B...
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問題詳情:
(1)問題發現
如圖1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,連接AC,BD交於點M.填空:
①的值為 ;
②∠AMB的度數為 .
(2)類比探究
如圖2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,連接AC交BD的延長線於點M.請判斷的值及∠AMB的度數,並説明理由;
(3)拓展延伸
在(2)的條件下,將△OCD繞點O在平面內旋轉,AC,BD所在直線交於點M,若OD=1,OB=,請直接寫出當點C與點M重合時AC的長.
【回答】
(1)①1;②40°;(2),90°;(3)AC的長為3或2.
【分析】
(1)①*△COA≌△DOB(SAS),得AC=BD,比值為1;
②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根據三角形的內角和定理得:∠AMB=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°;
(2)根據兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD,則,由全等三角形的*質得∠AMB的度數;
(3)正確畫圖形,當點C與點M重合時,有兩種情況:如圖3和4,同理可得:△AOC∽△BOD,則∠AMB=90°,,可得AC的長.
【詳解】
(1)問題發現:
①如圖1,
∵∠AOB=∠COD=40°,
∴∠COA=∠DOB,
∵OC=OD,OA=OB,
∴△COA≌△DOB(SAS),
∴AC=BD,
∴
②∵△COA≌△DOB,
∴∠CAO=∠DBO,
∵∠AOB=40°,
∴∠OAB+∠ABO=140°,
在△AMB中,∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°,
(2)類比探究:
如圖2,,∠AMB=90°,理由是:
Rt△COD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,
∴,
同理得:,
∴,
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOC=∠BOD,
∴△AOC∽△BOD,
∴ ,∠CAO=∠DBO,
在△AMB中,∠AMB=180°-(∠MAB+∠ABM)=180°-(∠OAB+∠ABM+∠DBO)=90°;
(3)拓展延伸:
①點C與點M重合時,如圖3,
同理得:△AOC∽△BOD,
∴∠AMB=90°,,
設BD=x,則AC=x,
Rt△COD中,∠OCD=30°,OD=1,
∴CD=2,BC=x-2,
Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=,
∴AB=2OB=2,
在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,
(x)2+(x−2)2=(2)2,
x2-x-6=0,
(x-3)(x+2)=0,
x1=3,x2=-2,
∴AC=3;
②點C與點M重合時,如圖4,
同理得:∠AMB=90°,,
設BD=x,則AC=x,
在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,
(x)2+(x+2)2=(2)2.
x2+x-6=0,
(x+3)(x-2)=0,
x1=-3,x2=2,
∴AC=2;.
綜上所述,AC的長為3或2.
【點睛】
本題是三角形的綜合題,主要考查了三角形全等和相似的*質和判定,幾何變換問題,解題的關鍵是能得出:△AOC∽△BOD,根據相似三角形的*質,並運用類比的思想解決問題,本題是一道比較好的題目.
知識點:相似三角形
題型:解答題
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