已知關於的函數,(I)試求函數的單調區間;(II)若在區間內有極值,試求a的取值範圍;(III)時,若有唯一的...
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問題詳情:
已知關於 的函數 ,
(I)試求函數的單調區間;
(II)若在區間 內有極值,試求a的取值範圍;
(III) 時,若有唯一的零點 ,試求 .(注:為取整函數,表示不超過的最大整數,如 ;以下數據供參考:
【回答】
【分析】
(I)由題意的定義域為,對a分類討論:當a≥0時,當a<0時,即可得出單調*; (II) , 所以的定義域也為,且,
令h(x)=2x3-ax-2,x∈[0,+∞),h′(x)=6x2-a,當a<0時,可得:函數h(x)在(0,1)內至少存在一個變號零點x0,且x0也是f′(x)的變號零點,此時f(x)在區間(0,1)內有極值.當a≥0時,由於函數f(x)單調,因此函數f(x)無極值.
(III)a>0時,由(II)可知:f(1)=3知x∈(0,1)時,f(x)>0,因此x0>1.又f′(x)在區間(1,+∞)上只有一個極小值點記為x1,由題意可知:x1即為x0.得到 ,即 ,消去可得: ,a>0,令 分別研究單調*即可得出x0的取值範圍.
【詳解】(I)由題意的定義域為
(i)若,則在上恆成立,為其單調遞減區間;
(ii)若,則由得,
時,,時,,
所以為其單調遞減區間;為其單調遞增區間;
(II) 所以的定義域也為,
且
令 (*)
則 (**)
(i)當時, 恆成立,所以為上的單調遞增函數,
又,所以在區間內存在唯一一個零點,
由於為上的單調遞增函數,所以在區間內,
從而在,所以此時在區間內有唯一極值且為極小值,適合題意,
(ii)當時,即在區間(0,1)上恆成立,此時, 無極值.
綜上所述,若在區間內有極值,則a的取值範圍為.
(III) ,由(II)且知時, .
由(**)式知,。
由於,所以,
又由於,
所以
亦即,
由
從而得
所以,,
從而,又因為有唯一的零點,所以 即為,
消去a,得
時令,
則在區間上為單調遞增函數, 為單調遞減函數,
且
【點睛】
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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