已知函數 (1)試判斷的單調*; (2)若在區間上有極值,求實數的取值範圍;(3)當時,若有唯一的零點,試...
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問題詳情:
已知函數
(1)試判斷的單調*;
(2)若在區間上有極值,求實數的取值範圍;
(3)當時,若有唯一的零點,試求的值.(注:為取整函數,表示不超過的最大整數,如;以下數據供參考:)
【回答】
解:(Ⅰ),
①當時,,∴函數在區間上單調遞減;
②當時,由,解得
當時,,此時函數g(x)單調遞減;當時,,此時函數單調遞增. ……………
(Ⅱ),其定義域為.
, ………………
令,,
當時,恆成立,∴在上為增函數,
又,
∴函數在內至少存在一個變號零點,且也是的變號零點,此時在區間內有極值. ……………
當時,,即時,恆成立,
∴函數在單調遞減,此時函數無極值 ………………
綜上可得:在區間內有極值時實數的取值範圍是 ……
(Ⅲ)∵時,函數的定義域為
由(Ⅱ)可知:知時,,∴.
又在區間上只有一個極小值點記為,
且時,,函數單調遞減,時,,函數單調遞增,
由題意可知:即為. ………………………
∴,∴消去可得:,
即
令,則在區間上單調遞增
又∵
由零點存在*定理知
∴ ∴ . ……………
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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