如圖,在邊長為2的正方形中,,分別為與的中點,一個三角形沿豎直方向向上平移,在運動的過程中,點恆在直線上,當點...
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問題詳情:
如圖,在邊長為2的正方形中,,分別為與的中點,一個三角形沿豎直方向向上平移,在運動的過程中,點恆在直線上,當點運動到線段的中點時,點,恰與,兩邊的中點重合.設點到的距離為,三角形與正方形的公共部分的面積為,則當時,的值為( )
A.或 B.或 C. D.或
【回答】
A
【解析】
本題應該分類討論,從以下三個情況進行討論,分別是:①當x<1時,重疊部分為直角三角形的面積,將其三角形面積用x表示,但是求出,與x<1相違背,要捨去;②當1<x<2時,除去重疊部分,剩下的圖形為兩個直角梯形的面積,將剩餘的直角梯形ANHP用x表示,求出x即可;③當x>2時,重疊部分為一個多邊形,可以從剩餘部分的角度進行求解,分別將矩形PQFE、、的面積用x表示,求出x即可,將x求出後,應該與前提條件假設的x的範圍進行比較,判斷x的值.
【詳解】
解:∵在邊長為2的正方形EFGH中,如圖所示,當A運動到MN的中點時,點E、F恰好與AB、AC的中點重合,即AM=EM=FM=1,且MNEF,
∴AME和AMF均為等腰直角三角形,可得:ABC也是等腰直角三角形,其中AB=AC=,BC=4,
設A到EF的距離AM=x,
①當x<1時,此時圖形的位置如下圖所示,AB與EF交於P點,AC與EF交於Q點,
∵AM=x,且△APQ為等腰直角三角形,
,解得:,但是與前提條件x<1相違背,故不存在該情況;
②當1<x<2時,此時圖形的位置如下圖所示,AB與EH交於P點,AC與GF交於Q點,
∵公共部分面積為,正方形剩餘部分,∴,四邊形ANHP是直角梯形,當AM=x,則AN=2-x,PE=x-1,HP=3-x,NH=1,
,解得:;
③當x>2時,此時圖形的位置如下圖所示,AB與EH交於K點,AB與HG交於I點,AC與FG交於L點,AC與HG交於J點,BC與EH交於P點,BC與GF交於Q點,
∵公共部分面積為,∴
且,解得:或(舍),
所以,滿足條件的AM的值為或,
故選:A.
【點睛】
本題考察了移動圖形間的重疊問題,需要進行分類討論,必須要把x的移動範圍進行分類,根據不同的x取值,畫出不同重疊的圖形,並將重疊部分的面積用x進行表示,解題的關鍵在於利用剩餘部分的面積進行倒推求解.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:選擇題
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