已知橢圓C：+=1(a>b>0)的長軸長為4.(1)若以原點為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y...

問題詳情：

已知橢圓C：+=1(a>b>0)的長軸長為4.

(1)若以原點為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y=x+2相切，求橢圓C的焦點座標；

(2)若點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線l與橢圓C相交於M，N兩點，記直線PM，PN的斜率分別為kPM，kPN，當kPM·kPN=-時，求橢圓的方程.

【回答】

 (1)由b=，得b=.又2a=4，

所以a=2，a2=4，b2=2，c2=a2-b2=2，

所以橢圓的兩個焦點座標分別為(，0)，(-，0).

(2)由於過原點的直線l與橢圓相交的兩點M，N關於座標原點對稱，不妨設M(x0，y0)，N(-x0，-y0)，P(x，y)，

由於M，N，P在橢圓上，則它們滿足橢圓方程，

即有+=1，+=1，兩式相減得=-.

由題意可知直線PM，PN的斜率存在，

則kPM=，kPN=，

kPM·kPN=·==-，

則-=-.由a=2得b=1，

故所求橢圓的方程為+y2=1.

【精要點評】由給定條件求橢圓方程，常用待定係數法，步驟是：定型——確定曲線形狀；定位——確定焦點位置；定量——由條件求a，b，c.當焦點位置不明確時，方程可能有兩種形式，要防止遺漏.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：填空題