已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f（x）=ex（x+1），給出下列命題：①當x＞0時，f（x...

問題詳情：

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f（x）=ex（x+1），給出下列命題：

①當x＞0時，f（x）=﹣e﹣x（x﹣1）；

②函數f（x）有2個零點；

③f（x）＜0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（0，1），

④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正確命題的個數是（　　）

A．4    B．3    C．2    D．1

【回答】

C【考點】3L：函數奇偶*的*質．

【分析】①根據f（x）為奇函數，可設x＞0，從而有﹣x＜0，從而可求出f（x）=e﹣x（x﹣1），

②從而可看出﹣1，1，0都是f（x）的零點，這便得出①②錯誤，

③而由f（x）解析式便可解出f（x）＜0的解集，從而判斷出③的正誤，

④可分別對x＜0和x＞0時的f（x）求導數，根據導數符號可判斷f（x）的單調*，根據單調*即可求出f（x）的值域，這樣便可得出∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．

【解答】解：①f（x）為R上的奇函數，設x＞0，﹣x＜0，則：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）；

∴f（x）=e﹣x（x﹣1）；

∴故①錯誤，

②∵f（﹣1）=0，f（1）=0；

又f（0）=0；

∴f（x）有3個零點；

故②錯誤，

③當x＜0時，由f（x）=ex（x+1）＜0，得x+1＜0；

即x＜﹣1，

當x＞0時，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＜0，得x﹣1＜0；

得0＜x＜1，

∴f（x）＜0的解集為（0，1）∪（﹣∞，﹣1）；

故③正確，

④當x＜0時，f′（x）=ex（x+2）；

∴x＜﹣2時，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0時，f′（x）＞0；

∴f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（﹣2，0）上單調遞增；

∴x=﹣2時，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2時，f（x）＜0；

∴f（x）＜f（0）=1；

即﹣e﹣2＜f（x）＜1；

當x＞0時，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；

∴f（x）在（0，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減；

x=2時，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2時，f（x）＞0；

∴f（x）＞f（0）=﹣1；

∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；

∴f（x）的值域為（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；

∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；

故④正確，

∴正確的命題為③④．

故選：C

知識點：函數的應用

題型：選擇題