求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：（1）一條漸近線方程為，且與橢圓有相同的焦點；（2）經過點，且與雙曲線有共同...

問題詳情：

求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：

（1）一條漸近線方程為，且與橢圓有相同的焦點；

（2）經過點，且與雙曲線有共同的漸近線．

【回答】

（1）；（2）．

【解析】

（1）由題意設出雙曲線的標準方程，根據漸近線方程和間的關係求出後可得所求方程；或根據漸近線方程設雙曲線方程為，然後由題意求出後得到所求．（2）根據題意設雙曲線的方程為，代入點的座標求出後可得所求方程．

【詳解】

（1）方法1：橢圓方程可化為，焦點座標為，

故可設雙曲線的方程為，其漸近線方程為，

則，

又，

所以可得，，

所以所求雙曲線的標準方程為．

方法2：由於雙曲線的一條漸近線方程為，則另一條漸近線方程為．

故可設雙曲線的方程為，即，

因為雙曲線與橢圓共焦點，

所以，

即，

解得，

所以所求雙曲線的標準方程為．

（2）由題意可設所求雙曲線方程為，

因為點在雙曲線上，

∴，解得，

所以所求雙曲線的標準方程為．

【點睛】

求雙曲線的標準方程的基本方法是待定係數法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然後再根據a，b，c，e及漸近線之間的關係，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題