對於平面直角座標系中的點P和圖形M，給出如下定義：Q為圖形M上任意一點，如果兩點間的距離有最大值，那麼稱這個最...

問題詳情：

對於平面直角座標系中的點P和圖形M，給出如下定義：Q為圖形M上任意一點，如果兩點間的距離有最大值，那麼稱這個最大值為點P與圖形M間的開距離，記作．已知直線與x軸交於點A，與y軸交於點B，的半徑為1．

（1）若，

①求的值；

②若點C在直線上，求的最小值；

（2）以點A為中心，將線段順時針旋轉得到，點E在線段組成的圖形上，若對於任意點E，總有，直接寫出b的取值範圍．

【回答】

（1）①3；②；（2）或

【分析】

（1）①直接利用圓外一點到圓上的一點的最大距離，即可得出結論； ②先判斷出OC⊥AB時，OC最短，即可得出結論； （2）Ⅰ、當b＞0時，當直線AB與⊙O相切時，d（E，⊙O）最小，當點E恰好在點D時，d（E，⊙O）最大，即可得出結論； Ⅱ、當b＜0時，同Ⅰ的方法即可得結論．

【詳解】

解：（1）①根據題意可知．

．

②如圖，過點O作於點C，此時取得最小值．

直線與x軸交於點A，

．

．

．

．

的最小值為．

（2）或

Ⅰ、當b＞0時，如圖2，

針對於直線y=x+b（b≠0）， 令x=0，則y=b， ∴B（0，b）， ∴OB=b， 令y=0，則0=x+b， ∴x=b， ∴A（b，0）， ∴OA=b， 則AB=2b，tan∠OAB==， ∴∠OAB=30°， 由旋轉知，AD=AB=2b，∠BAD=120°，

則有∠OAD=90°， 連接OD， ∴OD==b， ∵⊙O的半徑為1， ∴當線段AB與⊙O相切時，d（E，⊙O）最小=2， 同（1）的方法得，OF==1， ∴b=（捨去負值）， 對於任意點E，總有2≤d（E，⊙O）＜6， ∴b＜6-1， ∴b＜， 即≤b＜； Ⅱ、當b＜0時，如圖3，

同Ⅰ的方法得，-＜b≤-， 綜上述，-＜b≤-或≤b＜．

【點睛】

此題是圓的綜合題，主要考查了圓的*質，點到直線的距離，圓外一點到圓上一點的最大距離的求法，找出分界點是解本題的關鍵．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題