如圖,△BCD是等邊三角形AB=AD,∠BAD=90°,將△BCD沿BD摺疊到△BC′D的位置,使得AD⊥C′...
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問題詳情:
如圖,△BCD是等邊三角形AB=AD,∠BAD=90°,將△BCD沿BD摺疊到△BC′D的位置,使得AD⊥C′B.
(1)求*:AD⊥AC′;
(2)若M,N分別是BD,C′B的中點,求二面角N-AM-B的餘弦值.
【回答】
(1)∵∠BAD=90°,∴AD⊥AB,
又∵C′B⊥AD,且AB∩C′B=B,
∴AD⊥平面C′AB,
∵AC′⊂平面C′AB,
∴AD⊥AC′;
(2)∵△BCD是等邊三角形,AB=AD,∠BAD=90°,
不妨設AB=1,則BC=CD=BD=,
以點A為座標原點,分別以AB,AD,AC′所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角座標系Axyz,
則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C′(0,0,1),
∵點M、N分別為BD,C′B的中點,∴M,N,
∴=,=,
設平面AMN的一個法向量為m=(x,y,z),
則即
令x=1,則y=z=-1,∴m=(1,-1,-1),
平面ABM的一個法向量為n=(0,0,1),
∴cos〈m,n〉===-,
∴二面角N-AM-B的餘弦值為.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題
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