在平面直角座標系中,已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A(-3,0)、B(0,3)、C(1,0)三點.(1)...
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問題詳情:
在平面直角座標系中,已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A(-3,0)、B(0,3)、C(1,0)三點.
(1)求拋物線的解析式和它的頂點座標;
(2)若在該拋物線的對稱軸l上存在一點M,使MB+MC的值最小,求點M的座標以及MB+MC的最小值;
(3)若點P、Q分別是拋物線的對稱軸l上兩動點,且縱座標分別為m,m+2,當四邊形CBQP周長最小時,求出此時點P、Q的座標以及四邊形CBQP周長的最小值.
【回答】
解:(1)將A、B、C的座標代入函數解析式,
得,解得,
∴ 拋物線的解析式為y=-x2-2x+3,
*,得y=-(x+1)2+4,即頂點座標為(-1,4);
(2)如解圖①,連接AB交對稱軸於點M,連接MC,
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由A、C關於對稱軸對稱,得AM=MC,
∴ MB+MC=AM+MB=AB,
此時,MB+MC的值最小,
由勾股定理,得AB==3,
即MB+MC=3,
設AB的解析式為y=kx+b,
將A、B兩點座標代入,得
,解得,
∴直線AB的解析式為y=x+3,
當x=-1時,y=2,即M(-1,2),
此時MB+MC的最小值為3;
(3)如解圖②,將B點向下平移兩個單位,得D點,連接AD交對稱軸於點P,作BQ∥PD交對稱軸於Q點,
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∵PQ∥BD,BQ∥PD,
∴四邊形BDPQ是平行四邊形,
∴BQ=PD,PQ=BD=2,
∴BQ+PC=PD+AP=AD,
由勾股定理,得AD===,
BC===,
∴四邊形CBQP周長的最小值為BC+BQ+PQ+PC
=BC+PQ+(BQ+PC)
=BC+PQ+AD
=+2+
=2+2,
設AD的解析式為y=kx+b,將A、D點座標代入得,
,解得,
∴直線AD的解析式為y=x+1,
當x=-1時,y=,即P(-1,),
由|PQ|=2,且Q點縱座標大於P點縱座標得Q(-1,),
故當四邊形CBQP周長最小時,點P的座標為(-1,),點Q的座標為(-1,),四邊形CBQP周長的最小值是2+2.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題
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