為拋物線的焦點，過點的直線與交於、兩點，的準線與軸的交點為，動點滿足．（1）求點的軌跡方程；（2）當四邊形的面...

問題詳情：

為拋物線的焦點，過點的直線與交於、兩點，的準線與軸的交點為，動點滿足．

（1）求點的軌跡方程；

（2）當四邊形的面積最小時，求直線的方程．

【回答】

.解：（I）拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），∴E（﹣1，0）．

設直線l的方程為x﹣my﹣1=0．

聯立方程組，消元得：y2﹣4my﹣4=0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），則y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．

∴AB的中點座標為M（2m2+1，2m）．

∵=+=2，∴M為EP的中點．

∴，∴，即y2=4x﹣12．

∴點P的軌跡方程為y2=4x﹣12．   ........6分

（II）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．

∴|AB|===4（m2+1）．

E到直線l：x﹣my﹣1=0的距離d=，

∴S△ABE=•|AB|•d=4，

∵=+，∴四邊形EAPB是平行四邊形，

∴平行四邊形EAPB的面積S=2S△ABE=8．

∴當m=0時，S取得最小值8．

此時直線l的方程為x﹣1=0．.........12分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題