將一個直角三角形紙片放置在平面直角座標系中,點,點,點B在第一象限,,,點P在邊上(點P不與點重合). (1)...
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問題詳情:
將一個直角三角形紙片放置在平面直角座標系中,點,點,點B在第一象限,,,點P在邊上(點P不與點重合).
(1)如圖①,當時,求點P的座標;
(2)摺疊該紙片,使摺痕所在的直線經過點P,並與x軸的正半軸相交於點Q,且,點O的對應點為,設.
①如圖②,若摺疊後與重疊部分為四邊形,分別與邊相交於點,試用含有t的式子表示的長,並直接寫出t的取值範圍;
②若摺疊後與重疊部分的面積為S,當時,求S的取值範圍(直接寫出結果即可).
【回答】
(1)點P的座標為;(2)①,t的取值範圍是;②.
【分析】
(1)過點P作軸,則,因為,,可得,進而得,由30°所對的直角邊等於斜邊的一半可得,進而用勾股定理可得,點P的座標即求出;
(2)①由摺疊知,,所以,;再根據,即可根據菱形的定義“四條邊相等的四邊形是菱形”可*四邊形為菱形,所以,可得;根據點A的座標可知,加之,從而有;而在中,,
又因為,所以得,由和的取值範圍可得t的範圍是;
②由①知,為等邊三角形,由(1)四邊形為菱形,所以,三角形DCQ為直角三角形,∠Q=60°,從而,,進而可得,又已知t的取值範圍是,即可得.
【詳解】
解:(1)如圖,過點P作軸,垂足為H,則.
,
.
.
在中,,
,.
點P的座標為.
(2)①由摺疊知,,
,.
又,
.
四邊形為菱形.
.可得.
點,
.有.
在中,.
,
,其中t的取值範圍是.
②由①知,為等邊三角形,
∵四邊形為菱形,
∴,三角形DCQ為直角三角形,∠Q=60°,
∴,,
∴,
∵,
∴.
,
【點睛】
本題主要考查了摺疊問題,菱形的判定與*質,求不規則四邊形的面積等知識.
知識點:實際問題與二次函數
題型:解答題
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