如圖,已知A(﹣2,0),B(4,0),拋物線y=ax2+bx﹣1過A、B兩點,並與過A點的直線y=﹣x﹣1交...
- 習題庫
- 關注:2.54W次
問題詳情:
如圖,已知A(﹣2,0),B(4,0),拋物線y=ax2+bx﹣1過A、B兩點,並與過A點的直線y=﹣x﹣1交於點C.
(1)求拋物線解析式及對稱軸;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使四邊形ACPO的周長最小?若存在,求出點P的座標,若不存在,請説明理由;
(3)點M為y軸右側拋物線上一點,過點M作直線AC的垂線,垂足為N.問:是否存在這樣的點N,使以點M、N、C為頂點的三角形與△AOC相似,若存在,求出點N的座標,若不存在,請説明理由.
【回答】
(1)拋物線解析式為:y=,拋物線對稱軸為直線x=1;(2)存在P點座標為(1,﹣);(3)N點座標為(4,﹣3)或(2,﹣1)
【解析】
分析:(1)由待定係數法求解即可;
(2)將四邊形周長最小轉化為PC+PO最小即可;
(3)利用相似三角形對應點進行分類討論,構造圖形.設出點N座標,表示點M座標代入拋物線解析式即可.
詳解:(1)把A(-2,0),B(4,0)代入拋物線y=ax2+bx-1,得
解得
∴拋物線解析式為:y=x2−x−1
∴拋物線對稱軸為直線x=-=1
(2)存在
使四邊形ACPO的周長最小,只需PC+PO最小
∴取點C(0,-1)關於直線x=1的對稱點C′(2,-1),連C′O與直線x=1的交點即為P點.
設過點C′、O直線解析式為:y=kx
∴k=-
∴y=-x
則P點座標為(1,-)
(3)當△AOC∽△MNC時,
如圖,延長MN交y軸於點D,過點N作NE⊥y軸於點E
∵∠ACO=∠NCD,∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似,∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D關於AN對稱,則N為DM中點
設點N座標為(a,-a-1)
由△EDN∽△OAC
∴ED=2a
∴點D座標為(0,-a−1)
∵N為DM中點
∴點M座標為(2a,a−1)
把M代入y=x2−x−1,解得
a=4
則N點座標為(4,-3)
當△AOC∽△CNM時,∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB則點C關於直線x=1的對稱點C′即為點N
由(2)N(2,-1)
∴N點座標為(4,-3)或(2,-1)
點睛:本題為代數幾何綜合題,考查了待定係數、兩點之間線段最短的數學模型構造、三角形相似.解答時,應用了數形結合和分類討論的數學思想.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題
- 文章版權屬於文章作者所有,轉載請註明 https://zhongwengu.com/zh-mo/exercises/ope4ep.html