如圖,在平面直角座標系xOy中,橢圓C:的焦點為F1(–1、0),F2(1,0).過F2作x軸的垂線l,在x軸...
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問題詳情:
如圖,在平面直角座標系xOy中,橢圓C:的焦點為F1(–1、0),F2(1,0).過F2作x軸的垂線l,在x軸的上方,l與圓F2:交於點A,與橢圓C交於點D.連結AF1並延長交圓F2於點B,連結BF2交橢圓C於點E,連結DF1.已知DF1=.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)求點E的座標.
【回答】
(1);
(2).
【分析】
(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程;
(2)解法一:由題意首先確定直線的方程,聯立直線方程與圓的方程,確定點B的座標,聯立直線BF2與橢圓的方程即可確定點E的座標;
解法二:由題意利用幾何關係確定點E的縱座標,然後代入橢圓方程可得點E的座標.
【詳解】
(1)設橢圓C的焦距為2c.
因為F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.
又因為DF1=,AF2⊥x軸,所以DF2=,
因此2a=DF1+DF2=4,從而a=2.
由b2=a2-c2,得b2=3.
因此,橢圓C的標準方程為.
(2)解法一:
由(1)知,橢圓C:,a=2,
因為AF2⊥x軸,所以點A的橫座標為1.
將x=1代入圓F2的方程(x-1) 2+y2=16,解得y=±4.
因為點A在x軸上方,所以A(1,4).
又F1(-1,0),所以直線AF1:y=2x+2.
由,得,
解得或.
將代入,得,
因此.又F2(1,0),所以直線BF2:.
由,得,解得或.
又因為E是線段BF2與橢圓的交點,所以.
將代入,得.因此.
解法二:
由(1)知,橢圓C:.如圖,連結EF1.
因為BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,
從而∠BF1E=∠B.
因為F2A=F2B,所以∠A=∠B,
所以∠A=∠BF1E,從而EF1∥F2A.
因為AF2⊥x軸,所以EF1⊥x軸.
因為F1(-1,0),由,得.
又因為E是線段BF2與橢圓的交點,所以.
因此.
【點睛】
本題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何*質、直線與圓及橢圓的位置關係等基礎知識,考查推理論*能力、分析問題能力和運算求解能力.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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