如圖,在平面直角座標系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交於A(﹣1,0)B(3,0)兩點,與y軸交於點C,...
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問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交於A(﹣1,0)B(3,0)兩點,與y軸交於點C,點D是該拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式;
(2)請在y軸上找一點M,使△BDM的周長最小,求出點M的座標;
(3)試探究:在拋物線上是否存在點P,使以點A,P,C為頂點,AC為直角邊的三角形是直角三角形?若存在,請求出符合條件的點P的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
(1)拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;直線AC的解析式為y=3x+3;(2)點M的座標為(0,3);
(3)符合條件的點P的座標為(,)或(,﹣),
【解析】
分析:(1)設交點式y=a(x+1)(x-3),展開得到-2a=2,然後求出a即可得到拋物線解析式;再確定C(0,3),然後利用待定係數法求直線AC的解析式;
(2)利用二次函數的*質確定D的座標為(1,4),作B點關於y軸的對稱點B′,連接DB′交y軸於M,如圖1,則B′(-3,0),利用兩點之間線段最短可判斷此時MB+MD的值最小,則此時△BDM的周長最小,然後求出直線DB′的解析式即可得到點M的座標;
(3)過點C作AC的垂線交拋物線於另一點P,如圖2,利用兩直線垂直一次項係數互為負倒數設直線PC的解析式為y=-x+b,把C點座標代入求出b得到直線PC的解析式為y=-x+3,再解方程組得此時P點座標;當過點A作AC的垂線交拋物線於另一點P時,利用同樣的方法可求出此時P點座標.
詳解:(1)設拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3),
即y=ax2﹣2ax﹣3a,
∴﹣2a=2,解得a=﹣1,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;
當x=0時,y=﹣x2+2x+3=3,則C(0,3),
設直線AC的解析式為y=px+q,
把A(﹣1,0),C(0,3)代入得,解得,
∴直線AC的解析式為y=3x+3;
(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴頂點D的座標為(1,4),
作B點關於y軸的對稱點B′,連接DB′交y軸於M,如圖1,則B′(﹣3,0),
∵MB=MB′,
∴MB+MD=MB′+MD=DB′,此時MB+MD的值最小,
而BD的值不變,
∴此時△BDM的周長最小,
易得直線DB′的解析式為y=x+3,
當x=0時,y=x+3=3,
∴點M的座標為(0,3);
(3)存在.
過點C作AC的垂線交拋物線於另一點P,如圖2,
∵直線AC的解析式為y=3x+3,
∴直線PC的解析式可設為y=﹣x+b,
把C(0,3)代入得b=3,
∴直線PC的解析式為y=﹣x+3,
解方程組,解得或,則此時P點座標為(,);
過點A作AC的垂線交拋物線於另一點P,直線PC的解析式可設為y=﹣x+b,
把A(﹣1,0)代入得+b=0,解得b=﹣,
∴直線PC的解析式為y=﹣x﹣,
解方程組,解得或,則此時P點座標為(,﹣).
綜上所述,符合條件的點P的座標為(,)或(,﹣).
點睛:本題考查了二次函數的綜合題:熟練掌握二次函數圖象上點的座標特徵和二次函數的*質;會利用待定係數法求函數解析式,理解兩直線垂直時一次項係數的關係,通過解方程組求把兩函數的交點座標;理解座標與圖形*質,會運用兩點之間線段最短解決最短路徑問題;會運用分類討論的思想解決數學問題.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題
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