如圖，在平面直角座標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交於點A（﹣2，0），點B（4，0），與y軸交於點C...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交於點A（﹣2，0），點B（4，0），與y軸交於點C（0，8），連接BC，又已知位於y軸右側且垂直於x軸的動直線l，沿x軸正方向從O運動到B（不含O點和B點），且分別交拋物線、線段BC以及x軸於點P，D，E．

（1）求拋物線的表達式；

（2）連接AC，AP，當直線l運動時，求使得△PEA和△AOC相似的點P的座標；

（3）作PF⊥BC，垂足為F，當直線l運動時，求Rt△PFD面積的最大值．

【回答】

【分析】（1）將點A、B、C的座標代入二次函數表達式，即可求解；

（2）只有當∠PEA＝∠AOC時，PEA△∽AOC，可得：PE＝4AE，設點P座標（4k﹣2，k），即可求解；

（3）利用Rt△PFD∽Rt△BOC得：＝PD2，再求出PD的最大值，即可求解．

【解答】解：（1）將點A、B、C的座標代入二次函數表達式得：，解得：，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+8；

（2）∵點A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8，

∵l⊥x軸，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，

∵∠PAE≠∠CAO，

∴只有當∠PEA＝∠AOC時，PEA△∽AOC，

此時，即：，

∴AE＝4PE，

設點P的縱座標為k，則PE＝k，AE＝4k，

∴OE＝4k﹣2，

將點P座標（4k﹣2，k）代入二次函數表達式並解得：

k＝0或（捨去0），

則點P（，）；

（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，

∵l∥y軸，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，

∴，

∴S△PDF＝•S△BOC，

而S△BOC＝OB•OC＝＝16，BC＝＝4，

∴S△PDF＝•S△BOC＝PD2，

即當PD取得最大值時，S△PDF最大，

將B、C座標代入一次函數表達式並解得：

直線BC的表達式為：y＝﹣2x+8，

設點P（m，﹣m2+2m+8），則點D（m，﹣2m+8），

則PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，

當m＝2時，PD的最大值為4，

故當PD＝4時，∴S△PDF＝PD2＝．

知識點：各地中考

題型：綜合題