矩形ABCD一條邊AD＝8，將矩形ABCD摺疊，使得點B落在CD邊上的點P處．(1)如圖①，已知摺痕與邊BC交...

問題詳情：

矩形ABCD一條邊AD＝8，將矩形ABCD摺疊，使得點B落在CD邊上的點P處．

(1)如圖①，已知摺痕與邊BC交於點O，連接AP，OP，OA.

① 求*：△OCP∽△PDA；

② 若△OCP與△PDA的面積比為14，求邊AB的長．

(2)如圖②，在(1)的條件下，擦去AO和OP，連接BP.動點M在線段AP上(不與點P，A重合)，動點N在線段AB的延長線上，且BN＝PM，連接MN交PB於點F，作ME⊥BP於點E.試問動點M，N在移動的過程中，線段EF的長度是否發生變化？若不變，求出線段EF的長度；若變化，説明理由．

【回答】

(1)①*：如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C＝∠D＝∠B＝90°，∴∠1＋∠3＝90°.

由摺疊可得∠APO＝∠B＝90°，

∴∠1＋∠2＝90°.∴∠3＝∠2.

又∵∠C＝∠D，∴△OCP∽△PDA.

②解：∵△OCP與△PDA的面積比為14，且△OCP∽△PDA，

∴＝＝.∴CP＝AD＝4.

設OP＝x，則易得CO＝8－x.

在Rt△PCO中，∠C＝90°，

由勾股定理得 x2＝(8－x)2＋42.

解得x＝5.

∴AB＝AP＝2OP＝10.

(第25題)

 (2)解：作MQ∥AN，交PB於點Q，如圖②.

∵AP＝AB，MQ∥AN，∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP.

∴MP＝MQ.又BN＝PM，∴BN＝QM.

∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF，∠MQF＝∠FBN，

∴△MFQ≌△NFB.∴QF＝FB.

∴QF＝QB. [來源:學&科&網Z&X&X&K]

∵MP＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝PQ.

∴EF＝EQ＋QF＝PQ＋QB＝PB.

由(1)中的結論可得PC＝4，BC＝8，∠C＝90°.

∴PB＝＝4，∴EF＝PB＝2.

∴在(1)的條件下，點M，N在移動的過程中，線段EF的長度不變，它的長度恆為2.

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題