如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH...
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如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.
(1)求抛物线的表达式,并求出△ABC的面积;
(2)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标;
(3)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时△CMN的面积.
【回答】
解:(1)把点A(4,0),B(1,3)代入y=ax2+bx,得,解得;∴该抛物线的表达式为y=-x2+4x;∴对称轴为x=2,∴点C的坐标为(3,3),又∵点B的坐标为(1,3),∴BC=2,∴S△ABC=×2×3=3;(2)如图①,过P点作PD⊥BH交BH于点D,设点P(m,-m2+4m),根据题意,得BH=AH=3,HD=m2-4m,PD=m-1,∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD-S△BPD,即6=×3×3+(3+m-1)(m2-4m)-(m-1)(3+m2-4m),∴3m2-15m=0,m1=0(舍去),m2=5,∴点P坐标为(5,-5);
(3)以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,分三类情况讨论:①以点M为直角顶点且M在x轴上方时,如图②,CM=MN,∠CMN=90°,
则△CBM≌△MHN,∴BC=MH=2,BM=HN=3-2=1,∴M(1,2),N(2,0),由勾股定理得:MC==,∴S△CMN=××=;②以点M为直角顶点且M在x轴下方时,如图③,作辅助线,构建如图③的两直角三角形:Rt△NEM和Rt△MDC,得Rt△NEM≌Rt△MDC,∴EM=CD=5,MD=ME=2,由勾股定理得:CM==,∴S△CMN=××=;③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时,如图④,CN=MN,∠MNC=90°,作辅助线,同理得:CN==,∴S△CMN=××=17;④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时,作辅助线,如图⑤,同理得:CN===,此时点N与点A重合,∴S△CMN=××=5;⑤以C为直角顶点时,不能构成满足条件的等腰直角三角形;综上所述:△CMN的面积为:或或17或5
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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