如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x=1，与y轴的交点为c（0，4），y的最...

问题详情：

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x=1，与y轴的交点为c（0，4），y的最大值为5，顶点为M，过点D（0，1）且平行于x轴的直线与抛物线交于点A，B．

（Ⅰ）求该二次函数的解析式和点A、B的坐标；

（Ⅱ）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，求出所有点P的坐标．

【回答】

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（Ⅰ）先确定顶点M的坐标，再设顶点式y=a（x﹣1）2+5，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；在计算函数值为1所对应的自变量的值即可得到A、B点的坐标；

（Ⅱ）先计算出CD=3，BD=1，AM=2，CM=，AC=3，则利用勾股定理的逆定理得到△ACM为直角三角形，∠ACM=90°，则可判断△ACM∽△CDB，由此可判断P点坐标为（0，3），如图1；接着求出直线AM的解析式为y=﹣2x+7，直线AC的解析式为y=﹣x+4，作PM⊥AC于P，如图2，易得Rt△AMP∽Rt△CDB，然后利用两直线垂直的关系可求出直线PM的解析式为y=x+，从而可确定P点坐标为（﹣，），

【解答】解：（Ⅰ）根据题意得抛物线的顶点M的坐标为（1，5），

设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+5，

把C（0，4）代入y=a（x﹣1）2+5得a+5=4，解得a=﹣1，

所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+5，即y=﹣x2+2x+4；

当y=1时，﹣x2+2x+4=1，解得x1=﹣1，x2=3，则B（﹣1，1），A（3，1）；

（Ⅱ）CD=3，BD=1，AM==2，CM==，AC==3，

∵CM2+AC2=AM2，

∴△ACM为直角三角形，∠ACM=90°，

∵=， ==，

∴=，

而∠ACM=∠CDB，

∴△ACM∽△CDB，

∴点P在C点时，满足条件，此时P点坐标为（0，3），如图1；

作PM⊥AC于P，如图2，

∵△ACM∽△CDB，

∴∠MAC=∠DCB，

作PM⊥AC于P，如图2，

∴Rt△AMP∽Rt△CDB，

设直线AM的解析式为y=kx+b，

把M（1，5），A（3，1）代入得，解得，

直线AM的解析式为y=﹣2x+7，

同样可得直线AC的解析式为y=﹣x+4，

作PM⊥AC于P，如图1，设直线PM的解析式为y=x+p，

把M（1，5）代入得+p=5，解得p=，

∴直线PM的解析式为y=x+，

解方程组得，

∴P点坐标为（﹣，），

综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）或（﹣，）

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的*质和相似三角形的判定；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；理解坐标与图形*质，记住两点间的距离公式．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题