已知四边形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过P作MN∥AD,EF∥CD,分别交AB、CD、AD、BC于点M...
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问题详情:
已知四边形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过P作MN∥AD,EF∥CD,分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F,设=PM・PE,=PN・PF,解答下列问题:
(1)当四边形ABCD是矩形时,见图1,请判断与的大小关系,并说明理由;
(2)当四边形ABCD是平行四边形,且∠A为锐角时,见图2,(1)中的结论是否成立?并说明理由;
(3)在(2)的条件下,设,是否存在这样的实数,使得?若存在,请求出满足条件的所有的值;若不存在,请说明理由。
【回答】
解:(1) ∵ABCD是矩形,MN∥AD,EF∥CD
∴四边形PEAM、PNCF也均为矩形
∴=PM・PE=,=PN・PF=
又∵BD是对角线
∴△PMB≌△BFP,△PDE≌△DPN,△DBA≌△DBC
∵,
∴=
∴
(2)成立,理由如下:
∵ABCD是平行四边形,MN∥AD,EF∥CD
∴四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形
仿(1)可*
过E作EH⊥MN于点H,则;
∴
同理可得
又∵∠MPE=∠FPN=∠A
∴
∴PM・PE=PN・PF,即
(3)方法1:存在,理由如下:
由(2)可知,
∴
又∵,即,
而,
∴
即
∴,
故存在实数或,使得
方法2:存在,理由如下:
连结AP,设△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面积分别为、、、,
即,
即 ∴
∴
即
∴
∴,
故存在实数或,使得
知识点:平行四边形
题型:计算题
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