設函式.（1）當時，求在點處的切線方程；（2）當時，判斷函式在區間是否存在零點？並*.

問題詳情：

設函式.

（1）當時，求在點處的切線方程；

（2）當時，判斷函式在區間是否存在零點？並*.

【回答】

（1）；（2）在區間存在零點.

【解析】

（1）求出導函式，，切點，即可求出方程.

（2）對求導，判斷其單調*，可得，當，所以，即可得，趨近於0，趨向於無窮大，即可得在區間存在零點.

【詳解】

（1）當時，，，切線斜率，

，切點為，所以切線方程為：

（2），在區間單調遞增，

令解得：，

所以在單調遞減，在單調遞增，

所以在時取得最小值，

，因為，所以，

所以，

又因為趨近於0，趨向於無窮大，所以在區間存在零點.

【點睛】

本題主要考查了求曲線在某點處的切線方程，以及利用導數判斷函式的單調*，判斷函式在某區間是否存在零點，屬於中檔題.

知識點：導數及其應用

題型：解答題