已知函式f(x)=x2+ax﹣2lnx(a∈R).(1)若a=1,求函式f(x)的單調區間和極值;(2)若函式...
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問題詳情:
已知函式f(x)=x2+ax﹣2lnx(a∈R).
(1)若a=1,求函式f(x)的單調區間和極值;
(2)若函式f(x)在區間(0,2]上單調遞減,求實數a的取值範圍.
【回答】
【考點】6D:利用導數研究函式的極值;6B:利用導數研究函式的單調*.
【分析】(1)求出函式的導數,解關於導函式的不等式,求出函式的單調區間和極值即可;
(2)問題轉化為在區間(0,2]上恆成立,設,根據函式的單調*求出a的範圍即可.
【解答】解:(1).
當a=1時,,定義域為(0,+∞).
其導函式為
令f'(x)>0可得:x>1;
令f'(x)<0可得:0<x<1.
故函式f(x)的單調遞增區間為(1,+∞),單調遞減區間為(0,1),
f(x)的極小值為,無極大值.
(2)f(x)的導函式為,
由函式f(x)在區間(0,2]上為減函式可得:
f'(x)≤0即x2+ax﹣2≤0在區間(0,2]上恆成立,
即在區間(0,2]上恆成立,
設,可知y=g(x)在(0,2]上單調遞減,
所以a≤gmin(x)=g(2)=﹣1.
故所求實數a的取值範圍為(﹣∞,﹣1].
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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