如圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸相交於點C，連線BC，點P為拋物...

問題詳情：

如圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸相交於點C，連線BC，點P為拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線l，交直線BC於點G，交x軸於點E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當P位於y軸右邊的拋物線上運動時，過點C作CF⊥直線l，F為垂足，當點P運動到何處時，以P，C，F為頂點的三角形與△OBC相似？並求出此時點P的座標；

（3）如圖2，當點P在位於直線BC上方的拋物線上運動時，連線PC，PB，△PBC的面積S能否取得最大值？若能，請求出最大面積S，並求出此時點P的座標；若不能，請說明理由．

【回答】

【解答】解：（1）由題意得，解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4．

（2）如圖1所示：

由題意可知：C點座標為（0，4），

∴△BOC為等腰直角三角形，且∠BOC為直角．

∵以P，C，F為頂點的三角形與△OBC相似

∴△PCF為等腰直角三角形，又CF⊥直線l，∴PF=CF．

設P（t，﹣t2+3t+4）（t＞0），則CF=t，

PF=|（﹣t2+3t+4）﹣4|=|t2﹣3t|．

∴t=|t2﹣3t|，∴t2﹣3t=±t，解得t=0（捨去），t=2或t=0（捨去），t=4．

∴點P的座標為 （2，6）或（4，0）．

（3）如圖2所示：連線EC．

設點P的座標為（a，﹣a2+3a+4）．則OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣a．

∵C（0，4），B（4，0），

∴直線BC的解析式為y=﹣x+4．

∵S四邊形PCEB=OB•PE=×4（﹣a2+3a+4），S△CEB=EB•OC=×4×（4﹣a），

∴S△PBC=S四邊形PCEB﹣S△CEB=2（﹣a2+3a+4）﹣2（4﹣a）=﹣2a2+8a．

∵a=﹣2＜0，

∴當a=2時，△PBC的面積S有最大值．

∴P（2，6），△PBC的面積的最大值為8．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題