已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫座標是整數，且與直線4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）...

問題詳情：

已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫座標是整數，且與直線4x+3y﹣29=0相切．

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）設直線ax﹣y+5=0（a＞0）與圓相交於A，B兩點，求實數a的取值範圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數a，使得弦AB的垂直平分線l過點P（﹣2，4），若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

【回答】

【考點】JE：直線和圓的方程的應用；J1：圓的標準方程．

【分析】（Ⅰ）設圓心為M（m，0）（m∈Z）．由於圓與直線4x+3y﹣29=0相切，且半徑為5，所以，由此能求了圓的方程．

（Ⅱ）把直線ax﹣y+5=0代入圓的方程，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由於直線ax﹣y+5=0交圓於A，B兩點，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，由此能求出實數a的取值範圍．

（Ⅲ）設符合條件的實數a存在，則直線l的斜率為，l的方程為，由於l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上，由此推匯出存在實數使得過點P（﹣2，4）的直線l垂直平分弦AB．

【解答】（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）設圓心為M（m，0）（m∈Z）．

由於圓與直線4x+3y﹣29=0相切，且半徑為5，

所以，

即|4m﹣29|=25．因為m為整數，故m=1．

故所求圓的方程為（x﹣1）2+y2=25． …

（Ⅱ）把直線ax﹣y+5=0，即y=ax+5，

代入圓的方程，消去y，

整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，

由於直線ax﹣y+5=0交圓於A，B兩點，

故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，

即12a2﹣5a＞0，

由於a＞0，解得a＞，

所以實數a的取值範圍是（）．

（Ⅲ）設符合條件的實數a存在，

則直線l的斜率為，

l的方程為，

即x+ay+2﹣4a=0

由於l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上，

所以1+0+2﹣4a=0，解得．

由於，故存在實數

使得過點P（﹣2，4）的直線l垂直平分弦AB．…

知識點：圓與方程

題型：綜合題