已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右頂點，點滿足．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設直線經過點且與交於不同的兩點...

問題詳情：

已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右頂點，

點滿足．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線經過點且與交於不同的兩點、，試問：在軸上是否存在點，使得直線 與直線的斜率的和為定值？若存在，請求出點的座標及定值；若不存在，請說明理由．

【回答】

解：（Ⅰ）依題意，、，，

∴，………………………………………………2分

由，，得，∵，

∴，，………………………………………………………………4分

故橢圓的方程為．      ……………………………………………………5分

（Ⅱ）假設存在滿足條件的點. 當直線與軸垂直時，

它與橢圓只有一個交點，不滿足題意.    …………………………………………………6分

因此直線的斜率存在，設：，由，消得

， …………………………………………7分

設、，則，，

∵

， ………10分

∴要使對任意實數，為定值，則只有，此時，．

故在軸上存在點，使得直線與直線的斜率的和為定值．…………12分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題