已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,點P是底邊BC上一點且滿足PA=PB,⊙O是△PAB的外接圓,過點P作P...
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問題詳情:
已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,點P是底邊BC上一點且滿足PA=PB,⊙O是△PAB的外接圓,過點P作PD∥AB交AC於點D.
(1)求*:PD是⊙O的切線;
(2)若BC=8,tan∠ABC=,求⊙O的半徑.
【回答】
(1)*見解析;(2).
【分析】
(1)先根據圓的*質得:,由垂徑定理可得:OP⊥AB,根據平行線可得:OP⊥PD,所以PD是⊙O的切線;
(2)如圖2,作輔助線,構建直角三角形,根據三角函式設CG=x,BG=2x,利用勾股定理計算x=,設AC=a,則AB=a,AG=﹣a,在Rt△ACG中,由勾股定理列方程可得a的值,同理設⊙O的半徑為r,同理列方程可得r的值.
【詳解】
解:(1)如圖1,連線OP,
∵PA=PB,
∴,
∴OP⊥AB,
∵PD∥AB,
∴OP⊥PD,
∴PD是⊙O的切線;
(2)如圖2,過C作CG⊥BA,交BA的延長線於G,
Rt△BCG中,tan∠ABC=,
設CG=x,BG=2x,
∴BC=x,
∵BC=8,即x=8,
x=,
AC=a,則AB=a,AG=﹣a,
在Rt△ACG中,由勾股定理得:AG2+CG2=AC2,
∴ (﹣a)2+()2=a2,
a=2,
∴AB=2,BE=,
Rt△BEP中,同理可得:PE=,
設⊙O的半徑為r,則OB=r,OE=r﹣,
由勾股定理得:r2=(r-)2+()2,
r=,
答:⊙O的半徑是.
【點睛】
本題考查了切線的判定,等腰三角形的*質,直角三角形的*質,三角函式和勾股定理的計算等,綜合*較強,熟練應用勾股定理是解決本題的關鍵.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題
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