已知橢圓C：（＞b＞0）的左、右頂點分別為A1、A2 ，上、下頂點分別為B2、B1 ，O為座標原點，四邊形A1...

問題詳情：

已知橢圓C： （＞b＞0）的左、右頂點分別為A1、A2  ， 上、下頂點分別為B2、B1  ， O為座標原點，四邊形A1B1A2B2的面積為4，且該四邊形內切圓的方程為． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）若M、N是橢圓C上的兩個不同的動點，直線OM、ON的斜率之積等於，試探求△OMN的面積是否為定值，並說明理由．   

【回答】

 解：（Ⅰ）∵四邊形A1B1A2B2的面積為4，又可知四邊形A1B1A2B2為菱形， ∴ ，即ab=2  ① 由題意可得直線A2B2方程為： ，即bx+ay﹣ab=0， ∵四邊形A1B1A2B2內切圓方程為 ， ∴圓心O到直線A2B2的距離為 ，即 ② 由①②解得：a=2，b=1，∴橢圓C的方程為： （Ⅱ）若直線MN的斜率存在，設直線MN的方程為y=kx+m，M（x1  ， y1），N（x2  ， y2）， 由 得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0∵直線l與橢圓C相交於M，N兩個不同的點， ∴△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0得：1+4k2﹣m2＞0③ 由韋達定理： ∵直線OM，ON的斜率之積等於 ， ∴ ， ∴ ， ∴2m2=4k2+1滿足③…（9分） ∴ ， 又O到直線MN的距離為 ， ， 所以△OMN的面積 若直線MN的斜率不存在，M，N關於x軸對稱 設M（x1  ， y1），N（x1  ， ﹣y1），則 ， ， 又∵M在橢圓上， ，∴ ， 所以△OMN的面積S= = =1． 綜上可知，△OMN的面積為定值1            

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題