已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）．（1）寫出S1，S2，S3，S4，並...

問題詳情：

已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）．

（1）寫出S1，S2，S3，S4，並猜想Sn的表示式；

（2）用數學歸納法*你的猜想，並求出an的表示式．

【回答】

【考點】RG：數學歸納法；F1：歸納推理．

【分析】（1）先根據數列的前n項的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分別是等差數列進而可猜想出Sn．

（2）用數學歸納法*數列問題時分為兩個步驟，第一步，先*當n=1時，結論顯然成立，第二步，先假設當n=k+1時，有Sk=，利用此假設*當n=k+1時，結論也成立即可．

【解答】解：（1）：∵a1=1，Sn=n2an，∴S1=a1=1，

當n=2時，S2=a1+a2=4a2，解得a2=，S2=1+=，

當n=3時，S3=a1+a2+a3=9a3，解得a3=，S3=1++==，

當n=4時，S4=a1+a2+a3+a4=16a4，解得a4=，S4=，

∴Sn=

（2）下面用數學歸納法*

①當n=1時，結論顯然成立．

②假設當n=k時結論成立，即Sk=，

則當n=k+1時，則Sk+1=（k+1）2ak+1=（k+1）2（Sk+1﹣Sk），

∴（k2+2k）Sk+1=（k+1）2Sk=（k+1）2，

∴Sk+1=

故當n=k+1時結論也成立．

由①、②可知，對於任意的n∈N*，都有Sn=，

∵Sn=n2an，

∴an===

知識點：數列

題型：解答題