角平分線上的點到角兩邊的距離相等．這一*質在解決圖形面積問題時有何妙用呢？閱讀材料：已知，如圖（1），在面積為...

問題詳情：

角平分線上的點到角兩邊的距離相等．這一*質在解決圖形面積問題時有何妙用呢？閱讀材料：已知，如圖（1），在面積為S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，三條角平分線的交點O到三邊的距離為r．連線OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個小三角形．

∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC•r+AC•r+AB•r=（a+b+c）•r，∴r=

（1）類比推理：若面積為S的四邊形ABCD的四條角平分線交於O點，如圖（2），各邊長分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求點O到四邊的距離r；

（2）理解應用：如圖（3），在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=BC=13，對角線BD=20，點O1與O2分別為△ABD與△BCD的三條角平分線的交點，設它們到各自三角形三邊的距離為r1和r2，求的值．

【回答】

【考點】角平分線的*質；平行線的*質．

【分析】（1）已知已給出示例，我們仿照例子，連線OA，OB，OC，OD，則四邊形被分為四個小三角形，且每個三角形都以內切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似．仿照*過程，r易得；

（2）（1）中已告訴我們內切圓半徑的求法，如是我們再相比即得結果．但求內切圓半徑需首先知道三角形各邊邊長，根據等腰梯形*質，過點D作AB垂線，進一步易得BD的長，則r1、r2、易得．

【解答】解：（1）如圖，連線OA、OB、OC、OD，

∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=ar+br+cr+dr=（a+b+c）r，

∴r=；

（2）∵AB∥CD，

∴S△ABD：S△BCD=AB：CD=21：11；

∵r1==，

r2==，

∴=： =×==．

知識點：角的平分線的*質

題型：解答題