在正方形ABCD中，O是AD的中點，點P從A點出發沿A→B→C→D的路線勻速運動，移動到點D時停止．（1）如圖...

問題詳情：

在正方形ABCD中，O是AD的中點，點P從A點出發沿A→B→C→D的路線勻速運動，移動到點D時停止．

（1）如圖1，若正方形的邊長為12，點P的運動速度為2單位長度/秒，設t秒時，正方形ABCD與∠POD重疊部分的面積為y．

①求當t=4，8，14時，y的值．②求y關於t的函式解析式．

（2）如圖2，若點Q從D出發沿D→C→B→A的路線勻速運動，移動到點A時停止．P、Q兩點同時出發，點P的速度大於點Q的速度．設t秒時，正方形ABCD與∠POQ（包括邊緣及內部）重疊部分的面積為S，S與t的函式圖象如圖3所示．

①P，Q兩點在第______秒相遇；正方形ABCD的邊長是______.

②點P的速度為______單位長度/秒；點Q的速度為______單位長度/秒．

【回答】

①（Ⅰ）當t=4時，如圖1①．

∵AP=2×4=8，OA=6，

∴S△OAP=×AP×OA=24，

∴y=S正方形ABCD﹣S△OAP=144﹣24=120；（1分）

（Ⅱ）當t=8時，如圖1②．

∵AB+BP=2×8=16，AB=12，

∴BP=4，∴CP=12﹣4=8，

∴y=（OD+CP）×CD=×（6+8）×12=84；（2分）

（Ⅲ）當t=14時，如圖1③．

∵AB+BC+CP=2×14=28，AB=BC=CD=12，

∴DP=12×3﹣28=8，

∴y=S△ODP=×DP×OD=24；（3分）

②分三種情況：

（Ⅰ）當0≤t≤6時，點P在邊AB上，如圖1①．

∵AP=2t，OA=6，

∴S△OAP=×AP×6=6t，（4分）

∴y=S正方形ABCD﹣S△OAP=144﹣6t；

（Ⅱ）當6＜t≤12時，點P在邊BC上，如圖1②．

∵AB+BP=2t，AB=CD=12，

∴CP=24﹣2t，

∴y=（OD+CP）×CD=×（6+24﹣2t）×12=180﹣12t；（5分）

（Ⅲ）當12＜t≤18時，點P在邊CD上，如圖1③．

∵AB+BC+CP=2t，AB=BC=CD=12，

∴DP=36﹣2t，

∴y=S△ODP=×DP×OD=108﹣6t．（6分）

綜上可知，y=；

（2）①∵t=0時，S=S正方形ABCD=16，

∴正方形ABCD的邊長=4．（7分）

∵t=4時，S=0，

∴P，Q兩點在第4秒相遇；（8分）

②∵S與t的函式圖象由5段組成，

∴P，Q相遇於C點，

∵時間相同時，速度之比等於路程之比，而點P運動的路程=點Q運動的路程的2倍，

∴點P的速度=點Q的速度的2倍．

設點Q的速度為a單位長度/秒，則點P的速度為2a單位長度/秒．

∵t=4時，P，Q相遇於C點，正方形ABCD的邊長為4，

∴4（a+2a）=4×3，

∴a=1．

故點P的速度為2單位長度/秒，點Q的速度為1單位長度/秒.（10分）

知識點：課題學習 選擇方案

題型：綜合題