如图1,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交BC于点E(BE>EC),且BD=2.过点D作DF...
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如图1,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交BC于点E(BE>EC),且BD=2.过点D作DF∥BC,交AB的延长线于点F.
(1)求*:DF为⊙O的切线;
(2)若∠BAC=60°,DE=,求图中*影部分的面积;
(3)若=,DF+BF=8,如图2,求BF的长.
【回答】
【解答】*:(1)连结OD,如图1,
∵AD平分∠BAC交⊙O于D,
∴∠BAD=∠CAD,
∴=,
∴OD⊥BC,
∵BC∥EF,
∴OD⊥DF,
∴DF为⊙O的切线;
(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BH⊥DF于H,如图1,
∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=30°,
∴∠BOD=2∠BAD=60°,
∴△OBD为等边三角形,
∴∠ODB=60°,OB=BD=2,
∴∠BDF=30°,
∵BC∥DF,
∴∠DBP=30°,
在Rt△DBP中,PD=BD=,PB=PD=3,
在Rt△DEP中,∵PD=,DE=,
∴PE==2,
∵OP⊥BC,
∴BP=CP=3,
∴CE=3﹣2=1,
易*得△BDE∽△ACE,
∴AE:BE=CE:DE,即AE:5=1:,
∴AE=
∵BE∥DF,
∴△ABE∽△AFD,
∴=,即=,解得DF=12,
在Rt△BDH中,BH=BD=,
∴S*影部分=S△BDF﹣S弓形BD
=S△BDF﹣(S扇形BOD﹣S△BOD)
=•12•﹣+•(2)2
=9﹣2π;
(3)连结CD,如图2,由=可设AB=4x,AC=3x,设BF=y,
∵=,
∴CD=BD=2,
∵∠F=∠ABC=∠ADC,
∵∠FDB=∠DBC=∠DAC,
∴△BFD∽△CDA,
∴=,即=,
∴xy=4,
∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD,
而∠DFB=∠AFD,
∴△FDB∽△FAD,
∴=,即=,
整理得16﹣4y=xy,
∴16﹣4y=4,解得y=3,
即BF的长为3.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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