在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动,同时点Q...
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问题详情:
在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动,设两点移动的时间为t秒,回答下列问题:
(1)如图1,当t为几秒时,△PBQ的面积等于5cm2?
(2)如图2,当t=秒时,试判断△DPQ的形状,并说明理由;
(3)如图3,以Q为圆心,PQ为半径作⊙Q.
①在运动过程中,是否存在这样的t值,使⊙Q正好与四边形DPQC的一边(或边所在的直线)相切?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由;
②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点,请直接写出t的取值范围.
【回答】
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)由题意可知PA=t,BQ=2t,从而得到PB=6﹣t,BQ=2t,然后根据△PQB的面积=5cm2列方程求解即可;
(2)由t=,可求得AP=,QB=3,PB=,CQ=9,由勾股定理可*DQ2+PQ2=PD2,由勾股定理的逆定理可知△DPQ为直角三角形;
(3)①当t=0时,点P与点A重合时,点B与点Q重合,此时圆Q与PD相切;当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时,由圆的*质可知QC=QP,然后依据勾股定理列方程求解即可;
②先求得⊙Q与四边形DPQC有两个公共点时t的值,然后可确定出t的取值范围.
【解答】解:(1)∵当运动时间为t秒时,PA=t,BQ=2t,
∴PB=6﹣t,BQ=2t.
∵△PBQ的面积等于5cm2,
∴PB•BQ=(6﹣t)•2t.
∴=5.
解得:t1=1,t2=5.
答:当t为1秒或5秒时,△PBQ的面积等于5cm2.
(2)△DPQ的形状是直角三角形.
理由:∵当t=秒时,AP=,QB=3,
∴PB=6﹣=,CQ=12﹣3=9.
在Rt△PDA中,由勾股定理可知:PD2=DA2+PA2=122+()2=.
同理:在Rt△PBQ和Rt△DCQ中由勾股定理可得:DQ2=117,PQ2=.
∵117+=,
∴DQ2+PQ2=PD2.
所以△DPQ的形状是直角三角形.
(3)①(Ⅰ)由题意可知圆Q与AB、BC不相切.
(Ⅱ)如图1所示:当t=0时,点P与点A重合时,点B与点Q重合.
∵∠DAB=90°,
∴∠DPQ=90°.
∴DP⊥PQ.
∴DP为圆Q的切线.
(Ⅲ)当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时,如图2所示.
由题意可知:PB=6﹣t,BQ=2t,PQ=CQ=12﹣2t.
在Rt△PQB中,由勾股定理可知:PQ2=PB2+QB2,即(6﹣t)2+(2t)2=(12﹣2t)2.
解得:t1=﹣18+12,t2=﹣18﹣12(舍去).
综上所述可知当t=0或t=﹣18+12时,⊙Q与四边形DPQC的一边相切.
②(Ⅰ)当t=0时,如图1所示:⊙Q与四边形DPQC有两个公共点;
(Ⅱ)如图3所示:当圆Q经过点D时,⊙Q与四边形DPQC有两个公共点.
由题意可知:PB=6﹣t,BQ=2t,CQ=12﹣2t,DC=6.
由勾股定理可知:DQ2=DC2+CQ2=62+(12﹣2t)2,PQ2=PB2+QB2=(6﹣t)2+(2t)2.
∵DQ=PQ,
∴DQ2=PQ2,即62+(12﹣2t)2=(6﹣t)2+(2t)2.
整理得:t2+36t﹣144=0.
解得:t1=6﹣18,t2=﹣6﹣18(舍去).
∴当0<t<6﹣18时,⊙Q与四边形DPQC有三个公共点.
【点评】本题主要考查的是圆的综合应用,解答本题主要应用了三角形的面积公式、勾股定理以及勾股定理的逆定理,根据题意画出图形,求得⊙Q与四边形DPQC有两个公共点时t的值,从而确定出⊙Q与四边形DPQC有三个公共点时t的取值范围是解题的关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:综合题
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