已知,如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=x2+bx+c经过A...
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已知,如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为C.
(1)直接写出点A和点B的坐标.
(2)求抛物线的函数解析式.
(3)D为直线AB下方抛物线上一动点
①连接DO交AB于点E,若DE:OE=3:4,求点D的坐标.
②是否存在点D,使得∠DBA的度数恰好是∠BAC度数2倍,如果存在,求点D的坐标,如果不存在,说明理由.
【回答】
【解答】本题共(10分)
解:(1)当x=0时,y=﹣2,
∴B(0,﹣2),
当y=0时,﹣ x﹣2=0,x=﹣4,
∴A(﹣4,0);((2分),每个1分)
(2)把A(﹣4,0),B(0,﹣2)代入y=x2+bx+c中得:
,解得:
∴抛物线的函数解析式为:y=x2+x﹣2;(4分)
(3)①如图1,过点D作x轴的垂线交AB于点F,设点D(m,),F(m,﹣ m﹣2),
∵DF∥OB,
∴△DFE∽△OBE,
∴,
∵DE:OE=3:4,
∴FD:BO=3:4,
∴,
即:FD=,
∴(﹣m﹣2)﹣()=,(5分)
解之得:m1=﹣1,m2=﹣3,(6分)
∴D的坐标为(﹣1,﹣3)或(﹣3,﹣2);(7分)
②存在,
如图2,在y轴的正半轴上截取OH=OB,可得△ABH是等腰三角形,
∴∠BAH=2∠BAC,
∵∠DBA=2∠BAC,
∴∠DBA=∠BAH,
∴AH∥DB,
∴直线AH的解析式是:y=x+2,则直线DB的解析式是:y=x﹣2(8分)
则,解得:或(舍)
解得点D的坐标(﹣2,﹣3)(10分)
(其它方法,酌情给分)
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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