我国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思...

问题详情：

我国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线：，直线为曲线在点处的切线．如图所示，*影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为．过作的水平截面，所得截面面积______（用表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出体积为______．

【回答】

【分析】

根据导数的几何意义求出直线的方程，利用两个圆的面积作差可得，将一个底面半径为，高为的圆锥的底面与几何体为的底面放在同一水平面上，可以计算得到该圆锥与几何体在所有等高处的水平截面的面积相等，再根据圆锥的体积公式可求得结果.

【详解】

由，得，所以直线的斜率，

所以直线的方程为，即，

所以.

将一个底面半径为，高为的圆锥的底面与几何体为的底面放在同一水平面上，则过的水平截面截圆锥所得截面的半径为，截面面积为,根据祖暅原理可知，该圆锥与几何体的体积相等，

所以几何体的体积为.

故*为：；.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了祖暅原理，考查了圆锥的体积公式，属于中档题.

知识点：空间几何体

题型：填空题