瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧...
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瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:相切,则下列结论正确的是( )
A.圆M上点到直线的最小距离为2
B.圆M上点到直线的最大距离为3
C.若点(x,y)在圆M上,则的最小值是
D.圆与圆M有公共点,则a的取值范围是
【回答】
ACD
【分析】
由题意结合“欧拉线”概念可得△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线,结合直线方程的知识可得线段BC的垂直平分线的方程,由直线与圆相切可得圆M的方程;由圆心到直线的距离可判断A、B;令,由直线与圆相切可得z的最值,即可判断C;由圆与圆的位置关系即可判断D;即可得解.
【详解】
由AB=AC可得△ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上,即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线,
由点B(-1,3),点C(4,-2)可得线段BC的中点为,且直线的BC的斜率,
所以线段BC的垂直平分线的斜率,
所以线段BC的垂直平分线的方程为即,
又圆M:的圆心为,半径为,
所以点到直线的距离为,
所以圆M:,
对于A、B,圆M的圆心到直线的距离,所以圆上的点到直线的最小距离为,最大距离为,故A正确,B错误;
对于C,令即,当直线与圆M相切时,圆心到直线的距离为,解得或,则的最小值是,故C正确;
对于D,圆圆心为,半径为,若该圆与圆M有公共点,则即,解得,故D正确.
故选:ACD.
【点睛】
本题考查了直线方程的求解及直线与圆、圆与圆位置关系的应用,考查了运算求解能力与转化化归思想,属于中档题.
知识点:圆与方程
题型:选择题
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