如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则；⑥...

问题详情：

如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则；⑥，正确的有___________．（只填序号）

【回答】

①②③④⑤⑥

【解析】

*△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判断①；再*△BFM≌△CEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到EF=EM，可判断③，同时得到∠MEF=∠MFE=45°，可判断②；再*△DFM≌△NEM，得到△DMN为等腰直角三角形，得到DN=DM，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出DE=EM，再*△ADE≌△ACE，得到DE=CE，则有，从而判断⑤；最后*△CDM∽ADE，得到，结合BM=CM，AE=CF，可判断⑥.

【详解】

解：∵∠ACB=90°，

∴∠BCF+∠ACE=90°，

∵∠BCF+∠CBF=90°，

∴∠ACE=∠CBF，

又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC，

∴△BCF≌△CAE（AAS），

∴BF=CE，故①正确；

由全等可得：AE=CF，BF=CE，

∴AE-CE=CF=CE=EF，连接FM，CM，

∵点M是AB中点，

∴CM=AB=BM=AM，CM⊥AB，

在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM，

∴∠DBF=∠DCM，又BM=CM，BF=CE，

∴△BFM≌△CEM，

∴FM=EM，∠BMF=∠CME，

∵∠BMC=90°，

∴∠EMF=90°，即△EMF为等腰直角三角形，

∴EF=EM=，故③正确，

∠MEF=∠MFE=45°，∵∠AEC=90°，

∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正确，

设AE与CM交于点N，连接DN，

∵∠DMF=∠NME，FM=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°，

∴△DFM≌△NEM，

∴DF=EN，DM=MN，

∴△DMN为等腰直角三角形，

∴DN=DM，而∠DEA=90°，

∴，故④正确；

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠CAB=45°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°，

∵∠DEM=45°，

∴∠EMD=67.5°，即DE=EM，

∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE，

∴△ADE≌△ACE，

∴DE=CE，

∵△MEF为等腰直角三角形，

∴EF=，

∴，故⑤正确；

∵∠CDM=∠ADE，∠CMD=∠AED=90°，

∴△CDM∽ADE，

∴，

∵BM=CM，AE=CF，

∴，

∴，故⑥正确；

故*为：①②③④⑤⑥.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和*质，相似三角形的判定和*质，等腰直角三角形的判定和*质，等量代换，难度较大，解题的关键是添加辅助线，找到全等三角形说明角相等和线段相等.

知识点：相似三角形

题型：填空题