如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯...

问题详情：

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，

底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．

 (1)求B点到平面PCD的距离；

(2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点，∴PO⊥AD.

又∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD.

在△PAD中，PA⊥PD，PA＝PD＝，∴AD＝2.

在直角梯形ABCD中，O为AD的中点，AB⊥AD，∴OC⊥AD.

以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，

 (1)∴＝(1，－1，－1)．

设平面PCD的法向量为u＝(x，y，z)，

则取z＝1，得u＝(1,1,1)．

则B点到平面PCD的距离d＝＝.

(2)设＝λ(0≤λ≤1)．∵＝(0,1，－1)，∴－＝＝(0，λ，－λ)，

∴＝(0，λ，1－λ)，∴Q(0，λ，1－λ)．

设平面CAQ的法向量为m＝(x，y，z)，

则取z＝1＋λ，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)．

平面CAD的一个法向量为n＝(0,0,1)，

∵二面角Q－AC－D的余弦值为，

∴|cos〈m，n〉|＝＝.

整理化简，得3λ2－10λ＋3＝0.解得λ＝或λ＝3(舍去)，∴存在，且＝.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题