*：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．

问题详情：

*：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．

【回答】

【*】　(1)当n＝1时，左边12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．

(2)假设n＝k时，等式成立，就是

12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．

当n＝k＋1时，

12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2

＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2

＝－k(2k＋1)－(4k＋3)

＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)2(k＋1)＋1]，

所以n＝k＋1时等式也成立．

综合(1)(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．

知识点：推理与*

题型：解答题