阅读与思考婆罗摩笈多（Brahmagupta），是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，...

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阅读与思考

婆罗摩笈多（Brahmagupta），是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于*《九章算术》，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分*过程如下：

已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，求*：CN=DN．

*：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，

∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．

∴∠BAP=∠BPM．

∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．

∴…

（1）请你阅读婆罗摩笈多定理的*过程，完成剩余的*部分．

（2）已知：如图2，△ABC内接于⊙O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点D在⊙O上，∠BCD=60°，连接AD，与BC交于点P，作PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，则PN的长为　　．

【回答】

【考点】三角形的外接圆与外心；含30度角的直角三角形；圆内接四边形的*质．

【分析】（1）由直角三角形的*质∠BAP=∠BPM．由圆周角定理得出∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．*出∠DPN=∠PDN，得出DN=PN，同理CN=PN，即可得出结论；

（2）由圆周角定理得出∠D=∠B=30°，由三角形内角和定理求出∠DAC=45°，得出△APC是等腰直角三角形，∴PA=PC，∠CPD=90°，由AAS*△CPD≌△APB，得出CD=AB=2，同（1）得出CN=DN，由三角形内角和定理得出PN=CD=1即可．

【解答】解：（1）在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，

∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．

∴∠BAP=∠BPM．

∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．

∴∠DPN=∠PDN，

∴DN=PN，

同理：CN=PN，

∴CN=DN；

（2）∵∠ACB=45°，∠BCD=60°，

∴∠ACD=45°+60°=105°，

又∵∠D=∠B=30°，

∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°，

∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°，△APC是等腰直角三角形，

∴PA=PC，∠CPD=90°，

在△CPD和△APB中，，

∴△CPD≌△APB（AAS），

∴CD=AB=2，

∵∠CPD=90°，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，

∴同（1）得：CN=DN，

∴PN=CD=1；

故*为：1．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：综合题