如图所示,某区有一块空地,其中,,.当地区*规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中都在...
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问题详情:
如图所示,某区有一块空地,其中,,.当地区*规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中都在边上,且,挖出的泥土堆放在地带上形成假山,剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在的周围安装防护网.
(1)当时,求防护网的总长度;
(2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍,试确定的大小;
(3)为节省投入资金,人工湖的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使的面积最小?最小面积是多少?
【回答】
(1)(2)(3)当且仅当时,的面积取最小值为
【分析】
(1)根据题意可得,在中,利用余弦定理求出,从而可得,即,进而可得为正三角形,即求解.
(2)设,利用三角形的面积公式,在中,利用正弦定理可得,从而,即,即求解.
(3)设,由(2)知,在中,利用正弦定理可得,利用三角形的面积公式可得,再利用二倍角公式以及辅助角公式结合三角函数的*质即可求解.
【详解】
(1)在中,,,,
在中,,
由余弦定理,得,
,即,,
为正三角形,所以的周长为,
即防护网的总长度为.
(2)设,,
,即,
在中,由,得,
从而,即,由,
得,,即.
(3)设,由(2)知,
又在中,由,得,
,
当且仅当,即时,
的面积取最小值为.
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理在实际中的应用,三角形的面积公式以及三角恒等变换、三角函数的*质,属于中档题.
知识点:三角函数
题型:解答题
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