一个长为，宽为，质量为的矩形导电线框，由质量均匀分布的刚*杆构成，静止放置在不导电的水平桌面上，可绕与线框的一...

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问题详情：

一个长为，宽为，质量为的矩形导电线框，由质量均匀分布的刚*杆构成，静止放置在不导电的水平桌面上，可绕与线框的一条边重合的光滑固定轴ab转动，在此边中串接一能输出可变电流的电流源（图中未画出）。线框处在匀强磁场中，磁场的磁感应强度沿水平方向且与转轴垂直，俯视图如图预19-6所示。现让电流从零逐渐增大，当电流大于某一最小值时，线框将改变静止状态。

（1）求电流值。

（2）当线框改变静止状态后，设该电流源具有始终保持恒定电流值不变（）的功能。已知在线框运动过程中存在空气阻力。试分析线框的运动状况。

【回答】

（1）解法一：

导体线框放在水平桌面上，俯视图如图预解19-6-1。由图可见，在线框没动之前，线框的边与边平行于磁场，因而不受磁场力。边受的安培力的大小为，方向垂直于桌面向下，但此力对轴的力矩为零。边受的安培力的大小为，方向垂直桌面向上。此力对固定轴的力矩为

①

除此力矩外，线框还受到重力矩作用。重力力矩等于重力乘线框重心（点）到轴ab的距离，即

②

当＝时，桌面对线框的支持力的力矩为零，＞时，线框将改变静止状态，开始绕轴ab向上翘起。根据题意及①、②式，由力矩平衡原理可知

③

解得

④

解法二：

线框所受的重力矩也可以由各边对ab轴的重力矩来求。边与边的重心均在（）处，两条边对ab轴的合力矩为

边对ab轴的力矩为

故线框所受的重力矩为

与解法一求得的②式一致，从而求得与④式相同。

（2）线框处于静止状态时，若电流比稍大，线框所受的电磁力矩将大于重力矩，使线框绕ab轴向上翘起。边和边所受电磁力不等于零，但二者相互抵消。当保持电流值恒定不变时，线框将从静止状态开始绕固定轴作加速转动。在加速转动过程中，由于通过线框的磁通量发生变化，线框内将产生感应电动势，它有使线框中的电流变小的趋势，题中已设电流源有保持电流恒定不变的功能，所以当线框平面转至与桌面成角时，如图预解19-6-2a所示，线框受到的合力矩为

⑤

随着角逐渐增大，合力矩随之减小，但始终大于零，因而线框仍作逆时针加速转动，角速度不断增大。当线框平面转到竖直面时，合力矩为零，角速度达到最大。由于惯*，线框将越过面作逆时针转到。此时，合力矩与线框转动方向相反，角速度将逐渐减小，合力矩的大小随着角的增大而增大，如图预解19-6-2b所示。

如果没有空气阻力，将增至180°。当角等于180° 时，线框转动的角速度为零，合力矩将使线框作顺时针加速转动，结果线框将在角等于0°与180°之间往复摆动不止。实际上，由于空气阻力作用，线框平面在平面两侧摆动的幅度将逐渐变小，最终静止在面处，此时，电磁力矩与重力矩均为零。如果线框稍偏离平衡位置，电磁力矩与重力矩的合力矩将使线框回到平面处。故线框处于稳定平衡状态。