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一球形人造卫星，其最大横截面积为A、质量为m，在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动。由于受到稀薄空气阻力的作用，导致卫星运行的轨道半径逐渐变小。卫星在绕地球运转很多圈之后，其轨道的高度下降了△H，由于△H <<R，所以可以将卫星绕地球运动的每一圈均视为匀速圆周运动。设地球可看成质量为M的均匀球体，万有引力常量为G。取无穷远处为零势能点，当卫星的运行轨道半径为r时，卫星与地球组成的系统具有的势能可表示为
。
（1）求人造卫星在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动的周期；
（2）某同学为估算稀薄空气对卫星的阻力大小，做出了如下假设：卫星运行轨道范围内稀薄空气的密度为ρ，且为恒量；稀薄空气可看成是由彼此不发生相互作用的颗粒组成的，所有的颗粒原来都静止，它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后都具有与卫*同的速度，在与这些颗粒碰撞的前后，卫星的速度可认为保持不变。在满足上述假设的条件下，请推导：
①估算空气颗粒对卫星在半径为R轨道上运行时，所受阻力F大小的表达式；
②估算人造卫星由半径为R的轨道降低到半径为R-△H的轨道的过程中，卫星绕地球运动圈数n的表达式。
【回答】
解：（1）设卫星在R轨道运行的周期为T，
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
（2分）
解得：
（1分）
（2）①如图所示，最大横截面积为A的卫星，经过时间
从图中的实线位置运动到了图中的虚线位置，该空间区域的稀薄空气颗粒的质量为
（1分）
以这部分稀薄空气颗粒为研究对象，碰撞后它们都获得了速度v，设飞船给这部分稀薄空气颗粒的平均作用力大小为F，根据动量定理有：
（1分）
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
，解得： 
根据牛顿第三定律，卫星所受的阻力大小F′=
。（1分）
②设卫星在R轨道运行时的速度为v动能为Ek1、势能为Ep1、机械能为E1，
根据牛顿定律和万有引力定律有：
卫星的动能
，势能
解得：
卫星高度下降ΔH，在半径为（R-ΔH）轨道上运行，
同理可知其机械能
卫星轨道高度下降ΔH，其机械能的改变量
（1分）
卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功。设卫星在沿半径为R的轨道运行一周过程中稀薄空气颗粒作用于卫星的阻力做的功为W0，
利用小量累积的方法可知：
（1分）
上式表明卫星在绕不同轨道运行一周，稀薄空气颗粒所施加的阻力做的功是一恒量，与轨道半径无关。
则ΔE=nW0（1分）
解得：
（1分）
知识点：宇宙航行
题型：综合题
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