我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若...

问题详情：

我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．

（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．

①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求*：五边形ABCDE是正五边形；

②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：

（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）

如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．

①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（　   　）

②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形． （　   　）

【回答】

【解答】（1）①*：∵凸五边形ABCDE的各条边都相等，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，

在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、EAB中，，

∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），

∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，

∴五边形ABCDE是正五边形；

②解：若AC＝BE＝CE，五边形ABCDE是正五边形，理由如下：

在△ABE、△BCA和△DEC中，，

∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），

∴∠BAE＝∠CBA＝∠EDC，∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，

在△ACE和△BEC中，，

∴△ACE≌△BEC（SSS），

∴∠ACE＝∠CEB，∠CEA＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB，

∵四边形ABCE内角和为360°，

∴∠ABC+∠ECB＝180°，

∴AB∥CE，

∴∠ABE＝∠BEC，∠BAC＝∠ACE，

∴∠CAE＝∠CEA＝2∠ABE，

∴∠BAE＝3∠ABE，

同理：∠CBA＝∠D＝∠AED＝∠BCD＝3∠ABE＝∠BAE，

∴五边形ABCDE是正五边形；

（2）解：①若AC＝CE＝EA，如图3所示：

则六边形ABCDEF是正六边形；真命题；理由如下：

∵凸六边形ABCDEF的各条边都相等，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝EA，

在△AEF、△CAB和△ECD中，，

∴△AEF≌△CAB≌△ECD（SSS），

∴∠F＝∠B＝∠D，∠FEA＝∠FAE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，

∵AC＝CE＝EA，

∴∠EAC＝∠ECA＝∠AEC＝60°，

设∠F＝∠B＝∠D＝y，∠FEA＝∠FAE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC＝x，

则y+2x＝180°①，y﹣2x＝60°②，

①+②得：2y＝240°，

∴y＝120°，x＝30°，

∴∠F＝∠B＝∠D＝120°，∠FEA＝∠FAE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC＝30°，

∴∠BAF＝∠BCD＝∠DEF＝30°+30°+60°＝120°，

∴∠F＝∠B＝∠D＝∠BAF＝∠BCD＝∠DEF，

∴六边形ABCDEF是正六边形；

故*为：真；

②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形；真命题；理由如下：

如图4所示：连接AE、AC、CE，

在△BFE和△FBC中，，

∴△BFE≌△FBC（SSS），

∴∠BFE＝∠FBC，

∵AB＝AF，

∴∠AFB＝∠ABF，

∴∠AFE＝∠ABC，

在△FAE和△BCA中，，

∴△FAE≌△BCA（SAS），

∴AE＝CA，

同理：AE＝CE，

∴AE＝CA＝CE，

由①得：六边形ABCDEF是正六边形；

故*为：真．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了正多边形的判定、全等三角形的判定与*质、等腰三角形的*质、三角形内角和定理等知识；本题综合*强，有一定难度，*三角形全等是解题的关键．

知识点：各地中考

题型：解答题