若*具有以下*质:①,;②若,则,且时,.则称*是“好集”.(Ⅰ)分别判断*,有理数集是否是“好集”,并...
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若*具有以下*质:①,;②若,则,且时,.
则称*是“好集”.(Ⅰ)分别判断*,有理数集是否是“好集”,并说明理由;
(Ⅱ)设*是“好集”,求*:若,则;(Ⅲ)对任意的一个“好集”,分别判断下面命题的真假,并说明理由.命题:若,则必有;命题:若,且,则必有;
【回答】
解:(Ⅰ)*不是“好集”. 理由是:假设*是“好集”. 因为,,所以. 这与矛盾. 有理数集是“好集”. 因为,,对任意的,有,且时,.
所以有理数集是“好集”.
(Ⅱ)因为*是“好集”,所以 .若,则,即.所以,即.
(Ⅲ)命题均为真命题. 理由如下: 对任意一个“好集”,任取,
若中有0或1时,显然.下设均不为0,1. 由定义可知:.
所以 ,即.所以 . 由(Ⅱ)可得:,即. 同理可得.若或,则显然.若且,则.
所以 .所以 由(Ⅱ)可得:.所以 .
综上可知,,即命题为真命题.若,且,则.所以 ,即命题为真命题.
知识点:*与函数的概念
题型:解答题
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