若实数数列满足，则称数列为“数列”.（Ⅰ）若数列是数列，且，求，的值；(Ⅱ)求*：若数列是数列，则的项不可能全...

问题详情：

若实数数列满足，则称数列为“数列”.

（Ⅰ）若数列是数列，且，求，的值；

(Ⅱ) 求*：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；

(Ⅲ) 若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值.

【回答】

【试题解析】

解：

（Ⅰ）因为是数列，且

所以，

所以,                                  

所以，解得,                           

所以.                                   

 (Ⅱ) 假设数列的项都是正数，即，

所以，，与假设矛盾.

故数列的项不可能全是正数,

假设数列的项都是负数，

则而,与假设矛盾,

故数列的项不可能全是负数.

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知数列中项既有负数也有正数，

且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数.

因此存在最小的正整数满足（）.

设，则

.

,

故有, 即数列是周期为9的数列

由上可知这9项中为负数，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数.

因为,

所以当时，;

当时，这项中至多有一项为负数，而且负数项只能是,

记这项中负数项的个数为，

当时，若则，故为负数，

此时，；

若则，故为负数.

此时，，

当时，必须为负数，，,

综上可知的取值*为.

知识点：数列

题型：解答题