如图四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,,=2PD=2,. (I)*:; (II)若,求二面角的余弦值.
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问题详情:
如图四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,,=2PD=2,.
(I)*:;
(II)若,求二面角的余弦值.
【回答】
解析:(I)在△ADB中,∵,=2,
则,由余弦定理得,
BD2=3 ∴ ,
∴ ,即 ,
又 ∵底面,平面,
∴ ,
又 ∵,是平面内两相交直线(或),
∴ 平面,
∵ 平面,
∴ .
(II)由(I)知,DA,DB,DP两两垂直,
建立空间直角坐标系则
,,,,,
设平面PAB的一个法向量为,
因为 ,,
所以 ,解之,,
所以
由于轴∥平面PCB,设平面PCB的一个法向量可为,
因为 ,所以 ,解之,所以 )
设二面角的大小为((此处要看观察)),
因此,COSθ
故二面角的余弦值为.
另解:(II)由(I)知,,又易知,
且,所以平面,作于,连结,则(图5),
设,则是二面角的平面角,
由于∥,所以平面,
则二面角是直角,
因此,二面角为,由(I)知,,,PD=1,
所以PB=2,√3/2,tanα,,
因此,,故二面角的余弦值为.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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